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さすがに試験が一週間続くと辛いです。テスト期間が一週間なら問題ないわけですが、３日でやるtake-home finalが三つとかだと、３時間の試験を毎日一週間とはわけが違うわけです。いってみれば、１２時間の試験を毎日、一週間みたいなもんです。

　そんな中でおもしろかった問題をいくつか。

(Topology)これはおもしろかった、というより、あぁ、なるほどな、みたいにして解ける問題。あんまりこの定理の意味するところは何か、うまくつかめてません笑　

　A sebset A of a topological space X is focused if and only if there exsits a collection U_{i} i \in N of open subsets of X such that A = (intersections of) U_{i} (for all i).

Suppose that A is closed, focused subset of a normal topological space X. Show taht there exists a continuous function f:X \to R such that A=f^{-1}(0).
Also, show that if there exists a continuous function f:X \to R such that A=f^{-1}(0), then A is closed and fucused.

　次の問題は純粋に難しいと思います（勘違いであることが発覚しました）。今やっている試験の中の問題。またやってみてください。でもやりがいはあると思います。上の問題と違って、割と置くが深いと思います。

　Let I = [0,1] and consider the vector space C^{0}(I) consisting of all (complex valued) continuous functions on the interval I, equipped with the inner product,
:= (integral from 0 to 1) f(x) (conjugate of g(x)) dx

Is this a Hilbert space? Prove it or disprove it.