いろいろ

　昨日はMITでうちの数学の教授が簡単なトークをしていたので、ききにいった。Riemann Hypothesis についてだったが、素数の数学にあれほどまでの豊かな構造があったとは知らなかった分、とても興味をそそられた。
　その教授の、ある質問に対する返答。
　「あるstatementがあるとする。そのstatementが証明不可能であることを証明することは、そのstatementは真である、ということに値する」
　なかなかおもしろいですね。これはただ、証明不可能であれば、そのstatementが偽であることは証明できない、すなわち、statementは真であると考えても全く問題はない、ということだと思うのですが。

　一つ前に載せた文章は高校のころに書いたものだ。高校の二年ごろから考えを文章にするという作業は続けてきているが、ああやって、しっかりと一つの完成された作品として残しておくと、とても面白い。そこには僕のある一つの表現の試みがある。

　Here, a point I learned from my math class.

The claim
The boundary of a set A = {x \in R^{n-1}} defined by I^{n}_{i,\alpha} is the same as the boundary in topology, that is, the closure of the set minus the interiror of the set.
Sketch proof.
It is obviously true if the set A is cube([0,1]^{k}). Now, since there is an orientation to the definition of boundary, if we can chop up the general set A into cubes, we are done. The possibility of chopping it up can be guaranteed by assuming that A is smooth and finding a cube B and a smooth bijection g such that g(B) = A. We can take A back to B and chop it up. This is cheating, in a sense, but accoding to Tom, there is a genuine problem with the foundation of manifold that prevents us from proving for a general set A. In practive, the assumption is almost always satisfied.