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中間の問題（g-torusのcohomology)解けました。結局trivialではなかったです。

(n-1)Alternatig form -> n Alt -> R -> 0

というexact sequence を使って（最後から二個目の矢印はintegration)

H^{n}(M^{n}) = R

(=はisomorphism, M^{n}はn dimensional compact space)

という等式が成り立つことを利用すればそれほど難しくないはずです。

でも上の等式はきずかなんだ・・・。