えっと、小澤さんが読んでいるということなので笑

以下の問題を出題しておきながら証明してなかったので、今ちょっとやってみます。ちょっと昔の問題なので、ちゃんと証明できるかな？

The following is an interesting condition for a set to be uncountable. In order for a set X to be uncoutable, any one of the following conditions suffices.
1. X is a compact Hausdorff space without isolated points.
2. X is a nonempty complete metric space without isolated points.
3. X is a connected metric space with more than one point.

１．（今考え直して十分ぐらいかかりました・・・。やっぱりこの問題はnontrivialです。）証明は英語で書いた方が書きやすいので、頑張って読んでください。ちなみにLatexが分からないと読みづらいかもしれません笑　ある意味小澤さん向けに書いてます。

　Suppose X is countable. Let the set be {x_{i}} : i=1,2,3, \cdots
Define the sequence of open sets C_{i} that are neighborhood of points x_{\alpha_{i}} in the following way.
Suppose we have defined C_{j} and x_{\alpha_{j}} up to j = i-1. Since X has no isolated points, we can find infinitely many points in C_{i-1}. Pick a point x_{\alpha_{i}} in C_{i-1} such that x_{\alpha_{i-1}} < x_{\alpha_{i}}. Then we can find a neighborhood of x_{\alpha_{i}}, C{i} such that the closure of C_{i} does not contain x_{i}(Hausdorffness) and the closure of C_{i} lies inside of C_{i-1}.
Now, let x_{\alpha_{1}}=x_{1}. A subsequence of the sequence {x_{\alpha_{i}}} has a limit point because nested closed sets in a compact spacewhose finite intersections are always non-empty is non-empty(you can prove it). Let the limit pooint be y. Since X is compact, X is in particular closed. Therefore, y is one of the points x_{j} \in {x_{i}}. But C_{j+1} does not contain x_{j}. But x_{j} must be a limit point of a subsequence of the sequence {x_{\alpha_{i}} where j < i. This is a contradiction. Therefore, X is uncountable.

ちょっと細かいところは怪しいかもしれませんが、大筋のアイディアは全部入ってます。色んなところでnon-trivialに確認しないといけないところがありますが、気をつけて考えればいけるはずです。

　2. １と考え方は全く同じです。単にC_{i}を半径1/i　以下の「円」であるようにしてください。sequencially compactnessの条件に変わってCauchy sequenceが収束する、ということが証明のキーとなりますね。もちろんmetric space implies Hausdorffnessです。いちいち、closureであることにするのは、limit point がC_{i}に収まるようにしたいからです。

　３.　これが一番簡単ですね。Ｒのuncountabilityを使ってやるんですかね・・・。それは使わないっていう約束だったのに、僕が勘違いしてた可能性があります。本当にすみません。

　Let the points in X be x and y. Let d(x,y) = \epsilon. I claim that for any real number 0< s < \epsilon, there exists a point S in X such that d(x,S) = s. If this is true, then it naturally follows that X is uncountable from the uncountability of (0,\epsilon).

Suppose there's no such S for a certain s. Then open sets B_{s}(x)(a ball around x with radius s) and X - \overline{B_{s}(x)} (X minus the closure of B_{s}(x)) are two disjoint open sets whose union is X. But X must be connected. This is a contradiction.

こんなところです。読みづらいですねー。

　最近漫画を沢山読んでます。エヴァの話が出てきましたが、昨日464っていうサイトで９巻まで読みました（それまでしか巻がなかったです・・・）おもしろかったですよ。

　またバトン受け取っときます。