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What is the mechanism for Van der waals force?
The answer to the question, "how can I stabilize n electrons on a sphere the most?" turned out to be very difficult. Tom and I thought we could solve the problem by treating it as minimization problem by Lagurangian method, but according to Noam Elkies, this local minima (calculated by Lagurangian) is not global minima. As long as local minima are concerned, there are families of pseudo-stable states. (such as having two points at the top and bottom of sphere, and any points equally distributed on equator are stable, but obviously not global minimum.)
n \in N点を球面上に一様にちりばめる方法があるか、ということですが、今のところ、n=4かそれ以下の数については、そのような方法は見つけられていないということです。
まず僕が問題を見て考えたのは、問題を次の問題へと変えることです。すなわち、上の問題は
n個の電子が同じ長さの紐で球の中心につながれているシステムがあるとする。すなわち、電子は球の上しか動けないものとする。電子がどのようなCoodinatesをとるとき、システム全体のエナジーが最小になるか
という問題におきかえることができます。（この事実、つまり1/r^2の力がこの世界での「一様」性を決定する事実、自体面白いと思いました。おそらく僕らがR^3の世界に住んでいるからでしょう。とすれば。Time-spaceにおいては1/r^3の力がもっとも「自然」な力となります。またこのことについても物理の教授とでも話してみようと思っています）
さて、その次に僕が考えたのはSymmetryです。もしｎ点が一様にちりばめられるならば、どの点をとって、その点の上から球体をみても、同じように見えるはずだ、ということです。このことの信憑性は次のようにして確かめられます。（僕の数学の教授のTom Coatsが提案してくれました）
ある点Sを取るとする。その点の近接点がn点あるとする。Sからそれらの点の距離は等しい（近接点をそのように定義する）。さて、S点を中心にし、球を潰して近接点を円上に置く。エナジーが最小化されているはずであるので、近接点は一様に円状にちりばめられている。さて、今Sを円の中心から動かそうとすれば、Sを中心に押し戻そうとする力が働く。すなわち、もしSystem が symmetryであれば、そのシステムのエナジーはlocal minimumをとっている。
エナジー最小化の問題を解くのにまず思いつくのがLagurangeによる未定係数法です。しかし試してみれば分かるように、n=3のときでも状況は悲惨で、おそらくn=5ほどになれば、コンピューターによるnumerical method（実際に数字を入れてしらみつぶしに確かめてみる方法）でなければ問題を解くことはできないように思えます。
そこで僕の教授のTomはNoam Elkiesにこの問題について聞いたのですが、彼によると、このエネルギー最小化の問題はn=4以上のものについては解き方が知られていないとのことでした。主な理由としては、そもそも、この問題はlocal minimaをみつけることでは解くことができなということです。（一例としては、球を地球に例えると、北極と南極に電子をおくとします。残りの電子を赤道上に一様におけば、一応安定した系を得ることができますが、これはあくまでlocal minimumであり、global minimumでないことは明らかです。また、その赤道上の電子を赤道上にそって回転させても系は変わりません） Lagurangeの未定係数法はまさにlocal minimaを見つける方法ですので、明らかに適切ではありません。(local minimaはある関数の一次微分がゼロをとるポイントとして定義されています） Global minimaを見つける方法は実験的なものがいくつかあるようですが、それに関しては僕もあまり知りません。
ただn=8のときは実験的に、直方体の上の四点を軸にそって４５度回転させた時、おそらく最小エナジーをとるであろうということが分かっているそうです。
n=2は直線、n=3はequilateral triangle(正三角形）, n=4はtetrahedron（正四面体）であるのはよくしられています。
なかなか面白い問題でした。また面白い問題があったら教えてください。
